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有理数乘法怎么算?

首先吧,无限这个词放在这里不太合适。因为对于任意数字x > 0:

1是有理数啊。但这个结论显然不是题主想问的。


我觉得题主真正想问的是:是否存在一个有理数x,使得对x连续开根号任意次后仍然是有理数。换成数学描述就是:

是否 ,使得 有


我们先证明一个引理1:对于任意有理数 存在 ,使得 时, 为无理数。

首先我们把x表示为即约分数:

然后再根据算术基本定理,展开p,q有:

其中, 为互不相同的素数,

由于 时,分子 ,因此在分子的因子分解中存在至少一个素因子 ,以及 。

另 取 有:

假设 为有理数,则可以把 表示为即约分数形式。

其中a,b为大于0的整数。

由于 的即约分数性质得知,a和b中不能同时含有 因子。

假设a含有k个 素因子,b不含有 素因子,根据算术基本定理可知: ,因此 。

由于 因此k无整数解。

假设b含有k个 素因子,a不含有 素因子,根据算数基本定理可知: ,此时k无正整数解。

假设a,b都不含有 素因子,此时 和前面假设冲突。

由上所述,对于任意有理数 存在 ,使得 时, 为无理数。


然后我们再证明一个引理2,任意无理数开方仍然是无理数。

假设存在无理数x,使得 为有理数。

根据有理数对乘法的封闭性可知 为有理数,和假设冲突。

因此任意无理数开方仍然是无理数。


OK,我们回到原命题“是否 ,使得 有 ”

当 并为有理数时,根据引理1可知,此时必定存在一个N,使得 时,

当 并为有理数时,根据引理1可知,此时必定存在一个N,使得 时, ,由于对于任意 和 的有理性相同,因此必定存在一个N,使得 时,

当x为无理数时,根据引理2可知,x的任意次开方为无理数。


因此不存在有理数x,使得对x连续开根号任意次后仍然是有理数。

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